数学の問題では、歴史的な出来事や文章の中に数字が登場し、その数字を使って計算する形式の問題が出題されることがあります。今回は昭和の大合併に関する数字として登場する981と7616について、最大公約数の求め方をわかりやすく解説します。
最大公約数とは何か
最大公約数とは、2つ以上の整数を割り切ることができる共通の約数のうち、最も大きい数のことです。
例えば、12と18の場合、12の約数は1、2、3、4、6、12、18の約数は1、2、3、6、9、18です。この中で共通する約数は1、2、3、6なので、最大公約数は6になります。
大きな数字の場合でも、素因数分解やユークリッドの互除法を使うことで効率よく求めることができます。
981と7616を素因数分解する
まず、それぞれの数字を素因数分解します。素因数分解とは、整数を素数の掛け算の形に表す方法です。
981を素因数分解すると、次のようになります。
981 ÷ 3 = 327
327 ÷ 3 = 109
109は素数なので、981は「3×3×109」、つまり「3²×109」と表せます。
次に7616を素因数分解します。
7616 ÷ 2 = 3808
3808 ÷ 2 = 1904
1904 ÷ 2 = 952
952 ÷ 2 = 476
476 ÷ 2 = 238
238 ÷ 2 = 119
119は7×17なので、7616は「2⁶×7×17」と表せます。
981と7616の共通する約数を確認する
素因数分解した結果を比較すると、981は「3²×109」、7616は「2⁶×7×17」です。
最大公約数を求める場合は、両方の数に共通して含まれる素因数を探します。しかし、981には3と109しかなく、7616には2、7、17しかありません。
つまり、2つの数字の間には共通する素因数が存在しません。
981と7616の最大公約数の答え
共通する素因数がない場合、共通して割り切れる数は1だけになります。
したがって、981と7616の最大公約数は1です。
このように、最大公約数は必ずしも大きな数字になるわけではなく、2つの数字がお互いにどのような素数の組み合わせでできているかを確認することが重要です。
別の解き方としてユークリッドの互除法を使う方法
最大公約数はユークリッドの互除法でも求めることができます。これは、大きい数を小さい数で割った余りを利用して計算する方法です。
7616÷981を計算すると、981×7=6867なので余りは749になります。
次に981÷749の余りを求めると232、749÷232の余りは53、232÷53の余りは20、53÷20の余りは13、20÷13の余りは7、13÷7の余りは6、7÷6の余りは1となります。
最後に1になったため、最大公約数は1であることが確認できます。
まとめ｜981と7616の最大公約数は1
981と7616の最大公約数を求めるには、素因数分解またはユークリッドの互除法を使います。
981は3²×109、7616は2⁶×7×17となり、共通する素因数がないため、最大公約数は1になります。
文章問題に歴史や社会の数字が登場しても、計算では数字だけを取り出して、最大公約数などの数学的なルールに従って解くことがポイントです。
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